【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)O為圓心的圓分別交x軸的正半軸于點(diǎn)M，交y軸的正半軸于點(diǎn)N．劣弧 的長為 π，直線y=﹣ x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．

（1）求證：直線AB與⊙O相切；
（2）求圖中所示的陰影部分的面積（結(jié)果用π表示）

【答案】
（1）

證明：作OD⊥AB于D，如圖所示：∵劣弧 的長為 π，

∴ = ，

解得：OM= ，

即⊙O的半徑為 ，

∵直線y=﹣ x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

當(dāng)y=0時(shí)，x=3；當(dāng)x=0時(shí)，y=4，

∴A（3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∴AB= =5，

∵△AOB的面積= ABOD= OAOB，

∴OD= = =半徑OM，

∴直線AB與⊙O相切；


（2）

解：圖中所示的陰影部分的面積=△AOB的面積﹣扇形OMN的面積= ×3×4﹣ π×（ ）2=6﹣ π．


【解析】（1）作OD⊥AB于D，由弧長公式和已知條件求出半徑OM= ，由直線解析式求出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面積的計(jì)算方法求出OD，即可得出結(jié)論；（2）陰影部分的面積=△AOB的面積﹣扇形OMN的面積，即可得出結(jié)果．本題考查了切線的判定、弧長公式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、扇形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握切線的判定，由三角形的面積求出半徑是解決問題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，二次函數(shù)y= x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)B作軸的垂線，垂足為N，且S△AMO：S四邊形AONB=1：48．

（1）求直線AB和直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí)，在線段AB上找一點(diǎn)H（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），使GH+ BH的值最小，求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+ BH的最小值；
（3）如圖2，直線AB上有一點(diǎn)K（3，4），將二次函數(shù)y= x2﹣2x+1沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線上點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，點(diǎn)C′；當(dāng)△A′C′K′是直角三角形時(shí)，求t的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1 ， x2 ， 且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在學(xué)習(xí)完“利用三角函數(shù)測(cè)高”這節(jié)內(nèi)容之后，某興趣小組開展了測(cè)量學(xué)校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，量出高度AB=1.5m，測(cè)得旗桿頂端D的仰角∠DBE=32°，量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部C的水平距離AC=20m，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求旗桿CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】兩組數(shù)據(jù)m，6，n與1，m，2n，7的平均數(shù)都是6，若將這兩組數(shù)據(jù)合并成一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交圓O于點(diǎn)F，則∠BAF等于（　　）

A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為（　　）

A.44°
B.66°
C.88°
D.92°

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO．

（1）已知BD= ，求正方形ABCD的邊長；
（2）猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系．此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．
（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；
（2）若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4，求此“路線”L的解析式；
（3）當(dāng)常數(shù)k滿足 ≤k≤2時(shí)，求拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．

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