Question

如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長．
（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點到達(dá)終點時，另一點也停止運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

解：（1）如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm，
∴出發(fā)2秒后，則CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB==，
∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+=7．

（2）①如圖2，若P在邊AC上時，BC=CP=3cm，
此時用的時間為3s，△BCP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時，有三種情況：
i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時AP=2cm，P運(yùn)動的路程為2+4=6cm，
所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，
作CD⊥AB于點D，
在Rt△PCD中，PD===1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P運(yùn)動的路程為9-3.6=5.4cm，
則用的時間為5.4s，△BCP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時P應(yīng)該為斜邊AB的中點，P運(yùn)動的路程為4+2.5=6.5cm
則所用的時間為6.5s，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時，△BCP為等腰三角形

（3）如圖6，當(dāng)P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t+2t-3=3，
∴t=2；
如圖7，當(dāng)P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-4，AQ=2t-8，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t-4+2t-8=6，
∴t=6，
∴當(dāng)t為2或6秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．
分析：（1）根據(jù)速度為每秒1cm，求出出發(fā)2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB的長，最后即可求得周長．
（2）因為AB與CB，由勾股定理得AC=4 因為AB為5cm，所以必須使AC=CB，或CB=AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．
（3）分類討論：當(dāng)P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=6；當(dāng)P點在AB上，Q在AC上，則AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．
點評：此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動點，對于初二學(xué)生來說是個難點，尤其是第（2）由兩種情況，△BCP為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因此這是一道難題．