Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A，點(diǎn)D、E分別是AO、AB的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問(wèn)題：
（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)P和Q坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形PQBOD的面積為y（cm²），
求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在①的情況下，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ分四邊形BODE兩部分的面積之比為S_△PQE：S五邊形_PQBOD=1：29？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）以P為圓心、PQ長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)問(wèn)：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P能與△ABO的一邊相切？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）利用直線的解析式首先求得直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形的中位線定理求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可；
（2）①由P作PH⊥AB得到△PHE∽△AOB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等表示出PH，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
②利用S_△PQE：S五邊形_PQBOD=1：29列出方程求得t值即可．
（3）分當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)、當(dāng)⊙P與OA相切時(shí)和當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)三種情況分類(lèi)討論得到答案．

解答：（1）∵直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6）
∵點(diǎn)D、E分別是AO、AB的中點(diǎn)，
∴DE∥x軸，
∴OD=3，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；
∴P（t，3），Q（8-

8

5

t，

6

5

t）；

（2）①如圖1，由P作PH⊥AB
△PHE∽△AOB

PH

AO

=

PE

AB

∴

PH

6

=

4-t

10

∴PH=

3

5

(4-t)
S_△PEQ

= 1 2 EQ•PH= 1 2 (5-2t)• 3 5 (4-t)= 3 5 t2- 39 10 t+6

S_{四邊形DOBE=}

1

2

(4+8)×3=18y=18-(

3

5

t2-

39

10

t+6)=-

3

5

t2+

39

10

t+12
②

3

5

t2-

39

10

t+6=

1

30

×18 
 解得t=-

9

2

（舍），t=2

（3）當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)，
分別過(guò)點(diǎn)P、Q作PF、QG垂直于x軸，垂足為F、G，
再過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥PF于點(diǎn)H，
如圖2構(gòu)造直角△PHQ，
此時(shí)，△BQG∽△BAO，BQ=2t，
得QG=HF=

6

5

t，BG=

8

5

t，
在Rt△PHQ中，PH²+HQ²=PQ²，
得（3-

6

5

t）²+（8-t-

8

5

t）²=3²，
解得：t₁=4（舍），t₂=

80

41

當(dāng)⊙P與OA相切時(shí)，
分別過(guò)點(diǎn)P、Q作PF、QG垂直于x軸，垂足為F、G，
再過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥PF于點(diǎn)H，
如圖3構(gòu)造直角△PHQ，
此時(shí)，△BQG∽△BAO，BQ=2t，
得QG=HF=

6

5

t，BG=

8

5

t，
在Rt△PHQ中，PH²+HQ²=PQ²，
得（3-

6

5

t）²+（8-t-

8

5

t）²=t²，
解得：t₁=

61+2 109

18

＞4（舍），t₂=

61-2 109

18

當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，如圖4，
此時(shí)，PE=4-t，EQ=2t-5，
由△EPQ∽△BAO，得

.

BO

=

EP

AB

，
∴

2t-5

8

=

4-t

10

，
解得：t=

41

14

∴當(dāng)t=

80

41

，

61-2 109

18

，

41

14

時(shí)，⊙P可與△ABC的一邊相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是本題中涉及到的分類(lèi)討論思想更是中考中的熱點(diǎn)考題之一，也是個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，需重點(diǎn)訓(xùn)練．