Question

已知：如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE＝2．若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運動，設點F運動的時間為t秒．當t＞0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O．

(1)設△EGA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關系式；

(2)當t為何值時，AB⊥GH；

(3)請你證明△GFH的面積為定值；

(4)當t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖 　　∵GA∥BC，∴＝，又∵AB＝6，AD＝2． 　　∴DB＝4，由于BF＝t，∴＝，∴AG＝t． 　　過點E作EK⊥AG，垂足為K．∵∠BCA＝， 　　∴∠CAK＝，∴∠AEK＝，∵AE＝2，∴AK＝1，∴EK＝． 　　∴S＝AG·EK＝×t×＝t; 　　(2)如圖 　　連結(jié)DE，由AD＝AE可知，△ADE為等邊三角形．若AB⊥HG，則AO＝OD，∠AEO＝∠DEO．∵GA∥DE，∴∠AGE＝∠GED，∴∠AGE＝∠AEG，∴AG＝AE＝2．∴t＝2，∴t＝4．即當t＝4時，∴∠AB⊥GH; 　　(3)法一：∵GA∥BC，∴＝，由合比性質(zhì)得＝．∵DE∥BC，∴＝，＝，∴FH＝BC．∵△ABC與△GFH的高相等，∴S△GFH＝S△ABC＝×6×3＝9． 　　∴不論t為何值，△GFH的面積均為9． 　　法二：∵△GAD∽△FBD，∴＝＝．∵△GAE∽△HCE，∴＝＝．∴BF＝CH．當點F與點C重合時，BC＝FH，當點F在BC邊上時，BC＝BF＋FC＝CH＋FC＝FH，當點F在BC的延長線上時，BC＝BF－FC＝CH－FC＝FH，∴BC＝FH．∵△ABC與△GFH的高相等，∴S△GFH＝S△ABC＝×6×3＝9． 　　∴不論t為何值，△GFH的面積均為9; 　　(4)∵BC＝FH，∴BF＝CH．①當點F在線段BC上時．若點F和點C是線段BH的三等分點，則BF＝FC＝CH，∴BF＝CH．∴BF＝FC．∵BC＝6，∴BF＝FC＝3，∴當t＝3時，點F和點C是線段BH的三等分點．②如圖， 當點F在BC的延長線上時，若點F和點C是線段BH的三等分點，則BC＝CF＝FH．∵BC＝FH，∴BC＝CF．∵BC＝6，∴CF＝6，∴BF＝12．∴當t＝12時，點F和點C是線段BH的三等分點．