Question

如圖所示，在矩形ABCD中，M是BC上一個動點，DE⊥AM，E為垂足，
（1）求證：△ADE∽△ABM；
（2）若3AB=2BC，并且AB，BC的長是方程x²-（k-2）x+2k=0的兩個根．求k的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
又∵∠DEA=∠B=90°，
∴△ADE∽△ABM；
（2）∵AB，BC的長是方程x²-（k-2）x+2k=0的兩個根，
∴，
∵3AB=2BC，
∴，
即3k²-37k+12=0，解得k=12或k=．
分析：（1）先根據(jù)矩形的性質，得到AD∥BC，則∠DAE=∠AMB，又由∠DEA=∠B，根據(jù)有兩角對應相等的兩三角形相似，即可證明出△DAE∽△AMB；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系，列出方程組解答即可．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質．（1）中根據(jù)矩形的對邊平行進而得出∠DAE=∠AMB是解題的關鍵，此題還將動點問題與一元二次方程和矩形的性質相結合，綜合性不錯．