Question

（2003•煙臺(tái)）如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB=6，延長(zhǎng)BA到F，使FA=AB，若P為線(xiàn)段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），過(guò)P點(diǎn)作半圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥PC交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，設(shè)AC=x，AC+BE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：求y與x的函數(shù)關(guān)系式，由題意發(fā)現(xiàn)需求出BE，通過(guò)證明Rt△ABC∽R(shí)t△CBE即可；P為線(xiàn)段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），C為切點(diǎn)，可知當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，AC=0最小，當(dāng)P點(diǎn)與F點(diǎn)重合時(shí)，x=AC最大，求出AC的值，即可確定x的取值范圍．
解答：解：連接BC．
∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°，BC²=36-x²（2分）
又∵PC切⊙O于C∴∠BAC=∠BCE
∴Rt△ABC∽R(shí)t△CBE（3分）
∴
即BE==6-
∴y=-+x+6（5分）
當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，AC=0最小
∵P不與A重合，
∴x＞0（6分）
當(dāng)P點(diǎn)與F點(diǎn)重合時(shí)，x=AC最大，此時(shí)有PC²=PA•PB=6×12
∴PC=6
又∵∠P=∠P，∠PBC=∠PCA
∴△PCA∽△PBC
∴
即
由勾股定理得AC²+BC²=AB²，
即
∴（9分）
∴函數(shù)關(guān)系式為y=-+x+6（0＜x≤2）（10分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求二次函數(shù)的關(guān)系式及取值范圍，注意結(jié)合切線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)探求解決的方法．