Question

平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是四邊形外一點(diǎn)，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足為P．求證：四邊形ABCD為矩形．

Answer 1

分析：首先連接PO，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OP=

1

2

AC，OP=

1

2

BD，進(jìn)而得到AC=DB，然后再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形可得結(jié)論．

解答：證明：連接OP，
∵PA⊥PC，PB⊥PD，
∴△APC和△BPD都是直角三角形，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO=

1

2

AC，BO=DO=

1

2

DB，
∵在直角△APC中，OP是斜邊中線(xiàn)，
∴OP=

1

2

AC，
∵在直角△BPD中，OP是斜邊中線(xiàn)，
∴OP=

1

2

BD，
∴AC=BD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形．