Question

如圖1，在?ABCD中，AO⊥BC，垂足為O，已知∠ABC=60°，BO=2，AO=2

3

．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線FG與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與射線AD交于點(diǎn)G，連接OE，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸，△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF′，記直線EF′與射線AD的交點(diǎn)為H．
①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：△AEG∽△AHE；
②若HG=6，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）直接利用勾股定理可求AB；（2）①由于AD∥CF，∠F=∠AGE，∠F=∠EF′O，OB=BE=2，∠ABC=60°，易證△BOE是等邊三角形，那么∠EOF′=60°，∠F′OC=60°，于是OF′∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠AEH=∠EF′O，易證△AEG∽△AHE；②由①中，△AEG∽△AHE可得AE：AH=AG：AE，
設(shè)AG=x，再分情況討論，一種是點(diǎn)H在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)；另一種是點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí)，分別計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵AO⊥BC，BO=2，AO=2

3

，
∴AB=

BO2+AO2

=

4+12

=4；

（2）①證明：AD∥CF，∠F=∠AGE，∠F=∠EF′O，OB=BE=2，∠ABC=60°，
∴△BOE是等邊三角形，
∴∠EOF′=60°，∠F′OC=60°，
∴OF′∥AB，
∴∠AEH=∠EF′O，
∴∠AEH=∠AGE，∠EAG=∠EAG，
∴△AEG∽△AHE；
②由①知△AEG∽△AHE，
∴AE：AH=AG：AE，
即AE²=AH•AG，設(shè)AG=x，
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，
∴4=x（x+6），
解得x =-3±

13

取x=-3+

13

；
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí)，
∴4=x（x-6），
解得x=3±

13

，取x=3+

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、分情況討論、解一元二次方程．