Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（且≠ 90°），得到Rt△，邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn) D作DE∥交邊于點(diǎn)E，連接BE.

    （1）如圖1，當(dāng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，=      °；

    （2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若∠CBD的度數(shù)是∠CBE度數(shù)的m倍，猜想m的值并證明你的結(jié)論；

（3） 設(shè) BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作⊙E，當(dāng)S=

     時(shí)，求AD的長(zhǎng)，并判斷此時(shí)直線與⊙E的位置關(guān)系.

      

Answer 1

（1）當(dāng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，=  60  °；

   （2）猜想：①如圖8，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，m=2；

       ②如圖9，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，m=4.

       （閱卷說(shuō)明：為與后邊證明不重復(fù)給分，猜想結(jié)論不設(shè)給分點(diǎn)）

 證明：① 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖8）.

  （閱卷說(shuō)明：①、②兩種情況沒(méi)寫(xiě)的取值范圍不扣分）

     ∵ DE∥，

     ∴ .

                 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA =，CB=，∠ACD=∠BCE.

∴ .

∴ △CAD∽△CBE.

∴ ∠A =∠CBE=30°.

∵ 點(diǎn)D在AB邊上，∠CBD=60°，

∴ ，即 m=2.

② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上（如圖9）.

與①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.

∵ 點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，，

∴ ，即 m=4.  

（閱卷說(shuō)明：第（2）問(wèn)用四點(diǎn)共圓方法證明的扣1分.）

   （3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，

            ∴ AB = 2 ，，.

 由 △CAD∽△CBE 得 .

 ∵ AD=x，

 ∴ ，.

①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，，∠DBE=90°.

  此時(shí)，.

             當(dāng)S =時(shí)，.

             整理，得 .

 解得 ，即AD=1.

             此時(shí)D為AB中點(diǎn)，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如圖10）

             ∴ EC = EB.

             ∵ ，點(diǎn)E在邊上，

             ∴ 圓心E到的距離EC等于⊙E的半徑EB.

             ∴ 直線與⊙E相切. 

           ②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AD=x，，∠DBE=90°.（如圖9）.

             .

             當(dāng)S =時(shí)，.

             整理，得 .

 解得 ，（負(fù)值，舍去）.

             即.

             此時(shí)∠BCE=，而，∠CBE=30°，

             ∴ ∠CBE＜∠BCE .

             ∴ EC＜EB，即圓心E到的距離EC小于⊙E的半徑EB.

             ∴ 直線與⊙E相交.