Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E．

（1）△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請(qǐng)寫出證明過程；

（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CDP的周長等于△PAE周長的2倍？若存在，求DP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△CDP∽△PAE；（2）DP=8．

【解析】試題分析：（1）由在矩形ABCD中，直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E，易得∠A=∠D=90°，∠APE=∠PCD，繼而證得△CDP與△PAE相似；

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=AD-DP=11-x，由相似三角形的周長比等于相似比，易得=2，繼而求得答案．

試題解析：解：（1）△CDP∽△PAE．證明如下：

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，∴∠PCD+CPD=90°．∵∠CPE=90°，∴∠APE+∠CPD=90°，∴∠APE=∠PCD，∴△CDP∽△PAE；

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=AD﹣DP=11﹣x．∵△CDP∽△PAE，∴ =2，∴=2，解得：x=8，∴AP=3，AE=4，即DP=8．