Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）當(dāng)CG=CE時(shí)，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過全等三角形的判定定理SAS判定△DAE≌△DCE，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等知∠DAE=∠DCE；
（2）如圖，由∠CEG=2∠EAC，∠ECB=2∠CEG可得，4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，得∠G=∠CEG=30°；根據(jù)直角三角形中特殊角的三角函數(shù)值，可得在直角△ECH中，EH=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，代入可得出．
解答：（1）證明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的對(duì)角線平分對(duì)角），
ED=DE（公共邊），
AE=CE（正方形的四條邊長相等），
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；
 
（2）解：如圖，由（1）知，△DAE≌△DCE，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA（等邊對(duì)等角）；
又∵CG=CE（已知），
∴∠G=∠CEG（等邊對(duì)等角）；
而∠CEG=2∠EAC（外角定理），
∠ECB=2∠CEG（外角定理），
∴4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠G=∠CEG=30°；
過點(diǎn)C作CH⊥AG于點(diǎn)H，
∴∠FCH=30°，
∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，
在直角△FCH中，CH=CF，
∴EG=2×CF=3CF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，本題綜合比較強(qiáng)，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．