Question

如圖①，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為a、b（a＜b），點(diǎn)M、N分別為邊AD、BC上兩點(diǎn)(點(diǎn)A、C除外)，連結(jié)MN.

（1）如圖②，分別沿ME、NF將MN兩側(cè)紙片折疊，使點(diǎn)A、C分別落在MN上的A’、C’處，直接寫(xiě)出ME與FN的位置關(guān)系；

（2）如圖③，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，仍按（1）中的方式折疊，請(qǐng)求出四邊形A’EBN與四邊形C’FDM

的周長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示），并判斷四邊形A’EBN與四邊形C’FDM周長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖④，若對(duì)角線BD與MN交于點(diǎn)O，分別沿BM、DN沿ME、NF將MN兩側(cè)紙片折疊，折疊后，點(diǎn)A、C恰好都落在點(diǎn)O處，并且得到的四邊形BNDM是菱形，請(qǐng)你探索a、b之間的數(shù)量關(guān)系；

（4）在（3）情況下，當(dāng)a=時(shí)，求菱形BNDM的面積.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）平行

（2）相等

（3）

（4）

【解析】(1) ME∥FN     ………………2分

(2) ∵由折疊得知：A’E=AE， 四邊形A’EBN是矩形，

∴四邊形A’EBN的周長(zhǎng)=2（A’E＋EB）=2（AE＋EB）=2AB=2a，…3分

同理，四邊形C’FDM的周長(zhǎng)=2a，

       ∴四邊形A’EBN的周長(zhǎng)=四邊形C’FDM的周長(zhǎng)  ………………4分

(3) ∵△OND是由△CND折疊得到的，

     ∴OD=CD=a,                                   

       同理，OB=a,

     ∴BD=2a      ………………6分

       在△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得，

       BC2＋CD2=BD2，

     ∴b2＋a2=(2a)2

∴.     ………………7分

（4）當(dāng)a=時(shí)，CD=，BC=3

在菱形BNDM中，DN=BN

         設(shè)DN=BN=x,則CN=3－x .在△DCN中，∠C=90°，由勾股定理得，

NC2＋CD2=ND2，  ………………8分

                ∴，

解得，，

         ∴ 菱形BNDM的面積= ………………9分.

 (其它解法可自行參照上述標(biāo)準(zhǔn)給分)