Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以點(diǎn)B為圓心，以為半徑作圓．
（1）設(shè)點(diǎn)P為⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連接DA，DB，PB，如圖2．求證：AD=BP；
（2）在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)SAS即可證明△ACD≌△BCP，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BP；
（2）分P點(diǎn)在BC上面和P點(diǎn)在BC下面兩種情況討論可得BD的長；
（3）當(dāng)∠PBC=135°時(shí)，BD有最大值；當(dāng)∠PBC=45°時(shí)，BD有最小值．
解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD與△BCP中，
∵，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴AD=BP；

（2）解：在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=或2；

（3）解：當(dāng)∠PBC=135°時(shí)，BD有最大值，且最大值為；
當(dāng)∠PBC=45°時(shí)，BD有最小值，且最小值為 ．
故答案為：或2；135，；45，．
點(diǎn)評：考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)有全等三角形的判定與性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，最大值與最小值，注意分析問題要全面，以免漏解，有一定的難度．