Question

已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC、CD于M、N．
（1）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD上時(shí)（如圖1），求證：BM+DN=MN；
（2）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時(shí)（如圖2，圖3），線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；
（3）在圖3中，作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點(diǎn)，若MN=10，CM=8，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AE垂直于AN，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由同角的余角相等得到一對(duì)銳角相等，再由一對(duì)直角相等，又正方形的邊長(zhǎng)相等，利用ASA即可得到三角形ABE與三角形AND全等，從而得到對(duì)應(yīng)邊AE與AN，BE與DN相等，又∠EAM=∠NAM=45°，AM為公共邊，利用SAS即可得到三角形AEM與三角形ANM全等，從而得到MN=ME，等量代換即可得證；
（2）圖2的結(jié)論：MN+DN=BM，理由為：在BC上截取BG=DN，連接AG，然后也可以證明△AMN≌△AMG，也根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以得到結(jié)論；圖3的結(jié)論：MN+BM=DN，理由為：在ND上截取DG=BM，連接AG，首先證明△AMB≌△AGD，再證△AMG為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（3）連接AC，在直角三角形MNC中，由MN和CM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CN的長(zhǎng)，根據(jù)圖3的結(jié)論等量代換即可求出BC的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)銳角相等，再根據(jù)45度的鄰補(bǔ)角相等得到一對(duì)鈍角相等，利用兩對(duì)角相等的兩三角形相似，可得三角形ABP與三角形ACN相似，且相似比為1：，在直角三角形AND中，利用勾股定理求出AN的長(zhǎng)，代入比例式即可求出AP的長(zhǎng)．
解答：解：（1）證明：作AE⊥AN交CB的延長(zhǎng)線于E，
∵∠EAB+∠BAN=90°，∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD．    
又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△AND（ASA），（2分）
∴AE=AN，BE=DN．
∵∠EAM=∠NAM=45°，AM=AM，
∴△AME≌△AMN．     …（3分）
∴MN=ME=MB+BE=MB+DN．…（4分）


（2）圖2的結(jié)論：MN+DN=BM；   …（6分）
圖3的結(jié)論：MN+BM=DN．   …（8分）

（3）連接AC．
∵M(jìn)N=10，CM=8，
在Rt△MNC中，根勾股定理得：MN²=CM²+CN²，即10²=8²+CN²，
∴CN=6，
如圖3在ND上截取DG=BM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠MAG=90°，△AMG為等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN為MG垂直平分線，
所以NM=NG．
∴DN-BM=MN，即MN+BM=DN，
∴MN+CM-BC=DC+CN，
∴CM-CN+MN=2BC，
∴8-6+10=2BC，
∴BC=6．
∴AC=6．     …（10分）
∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，
∴∠BAP=∠NAC．
又∠ABP=∠ACN=135°，
∴△ABP∽△CAN，
∴==．      …（12分）
∵在Rt△AND中，根據(jù)勾股定理得：AN²=AD²+DN²=36+144，
解得AN=6．
∴=，
∴AP=3．     …（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題是一道把圖形的旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和正方形的性質(zhì)結(jié)合求解的綜合題．難度大，解題的關(guān)鍵是把圖形的變換放在正方形中，利用正方形的性質(zhì)去探究圖形變換的規(guī)律．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．