Question

已知頂點(diǎn)為A(1,5)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(5,1).

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖（1）,設(shè)C,D分別是軸、軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值；

（3）在（2）中，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，作直線CD.設(shè)點(diǎn)P()()是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，以PQ為斜邊按圖（2）所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.

①當(dāng)△PBR與直線CD有公共點(diǎn)時(shí),求的取值范圍；

②在①的條件下，記△PBR與△COD的公共部分的面積為S.求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，5），

∴設(shè)拋物線的解析式為，

將點(diǎn)B（5，1）代入，得，

解得，

∴

（2）作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然，

如圖(5.1)，連結(jié)分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，

∵，

∴此時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，最小值就是。

而，

∴

四邊形ABCD周長(zhǎng)的的最小值為。

（3）①點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（﹣1，5），連接A′B′，與x軸，y軸交于C，D點(diǎn)，

∴CD的解析式為：，

聯(lián)立，

得：

∵點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)，

∴要使等腰直角三角形與直線CD有公共點(diǎn)，則．

故的取值范圍是：．

 

②如圖：

點(diǎn)E（2，2），當(dāng)EP=EQ時(shí)，，得：，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，．

故的最大值為：．

【解析】略