Question

【題目】

已知：如圖(1)，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，分別在坐標(biāo)軸上，且，的面積為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸負(fù)方向以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向下運(yùn)動(dòng)，連接，，點(diǎn)為上的中點(diǎn).

(1)直接寫出坐標(biāo)___________，___________，___________.

(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，問：當(dāng)與垂直且相等時(shí)，求此時(shí)的值？并說明理由.

(3)如圖(2)，在第四象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，判斷是否平分，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（-4，0），（4，0），（0，-4）；（2）當(dāng)t=2時(shí)，DP與DB垂直且相等，理由見詳解；（3）QA平分∠PQB，見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，分別求出OA，OB，OC，得到點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）作DM⊥x軸于點(diǎn)M，作DN⊥y軸于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理用t表示出DB，DP，PB，然后再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得到∠APB=60°，進(jìn)而得到A，B，Q，P四點(diǎn)共圓，再根據(jù)圓周角定理解答．

解：（1）∵OA=OB=OC，
∴AB=2OA，
∵∠AOC=90°，△ABC的面積為16，
∴×AB×OC=16，即×2OA×OC=16，
∴OA=OC=OB=4，
∴A（-4，0），B（4，0），C（0，-4），
（2）當(dāng)t=2秒時(shí)，即CP=OC時(shí)，DP與DB垂直且相等．
理由如下：作DM⊥x軸于點(diǎn)M，作DN⊥y軸于點(diǎn)N，

則OM∥OC，DN∥OA，
∵D為線段AC中點(diǎn)，
∴DM=2，OM=2，DN=2，NC=2，
∴BD2=DM2+BM2=40．

∴DP2=DN2+PN2=4+（2+2t）2=8+8t+4t2，PB2=OB2+PO2=16+（4+2t）2=32+16t+4t2，
當(dāng)DP與DB垂直時(shí)，有40+8+8t+4t2=32+16t+4t2，
解得，t=2，
當(dāng)t=2時(shí)，8+8t+4t2=40，
∴DP=DB，
∴當(dāng)t=2時(shí)，DP與DB垂直且相等；
（3）QA平分∠PQB，

理由：∵OA=OB，PO⊥AB，
∴PA=PB，又∠ABP=60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴∠APB=60°，
∵∠ABP=60°，∠PQA=60°，
∴∠ABP=∠PQA，
∴A，B，Q，P四點(diǎn)共圓，
∴∠AQB=∠APB=60°，
∴∠AQB=∠AQP，即QA平分∠PQB．