Question

（2008•安順）如圖，拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）⊙M是過A、B、C三點(diǎn)的圓，連接MC、MB、BC，求劣弧CB的長；（結(jié)果用精確值表示）
（3）點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（結(jié)果用精確值表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根據(jù)直線的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可得出拋物線的解析式．
（2）求弧長需要知道兩個條件：圓的半徑和弧所對的圓心角，圓心角可通過求∠OAB的度數(shù)來得出．而半徑的長可通過∠CMB的度數(shù)和BC的長來求出．然后根據(jù)弧長計算公式即可得出劣弧CB的長．
（3）可先求出△ACD的面積，然胡根據(jù)兩三角形的面積比求出△APC的面積．△APC中，AC的長為定值，因此可根據(jù)△APC的面積求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）把x=0和y=0分別代入y=x-3，
得當(dāng)x=0時，y=-3；
當(dāng)y=0時，x=3．
∴A（3，0），B（0，-3）．
把x=0時，y=-3；當(dāng)y=0時，x=3代入y=ax²-2x+c，
得，
解得：，
∴y=x²-2x-3．

（2）當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴C（-1，0）
∴AC=4，BC=．
∵OA=OB=3，
∴∠CAB=45°，
∴∠CMB=90度．
∴MB=MC=
∴的長是π．

（3）∵y=x²-2x-3的對稱軸是x=-=1，
當(dāng)x=1時，y=-4，
∴D（1，-4）．
∴S_△ACD=×4×4=8，
∴S_△APC=10．
設(shè)存在點(diǎn)P（x，y），
∴|y|=5．
∴y=5時，x²-2x-3=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
當(dāng)y=-5時，P點(diǎn)不在拋物線上，
∴P₁（4，5），P₂（-2，5）．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圓周角定理、弧長的計算公式等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．