Question

平面直角坐標(biāo)系中的梯形AOBC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A（0，4）、B（6，0）、C（4，4），過O、B、C三點(diǎn)的拋物線交AC于D，點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向D運(yùn)動(dòng)．過Q作QM⊥AC交BD于M，連接PM．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤2）
（1）求直線BC的解析式；
（2）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）以P、Q、M為頂點(diǎn)的圖形的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBM是直角三角形？直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）由于拋物線同時(shí)經(jīng)過O、B兩點(diǎn)，可據(jù)此確定拋物線的對(duì)稱軸，由于CD∥x軸，那么C、D也關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）首先要求出C、M、P在同一天直線上，即CP⊥x軸時(shí)t的值，求得t=1，那么可分兩種情況考慮：
①P在直線QM左側(cè)時(shí)（即0≤t＜1），延長QM交x軸于N，可用t表示出CQ、ON、OP的長，即可得到PN、DQ的長，易知∠OBD=∠BDC=45°，可據(jù)此求出QM的長，以QM為底、PN為高即可得到△PQM的面積表達(dá)式，從而得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②P在直線QM右側(cè)時(shí)（即1＜t＜2），方法同①．
（4）顯然∠PBM＜90°，因此分兩種情況考慮：
①∠MPB=90°，此時(shí)MP⊥OB，在（3）中已經(jīng)求得此時(shí)t=1；
②∠PMB=90°，在等腰直角三角形DQM中，可用t表示出DM的長，BD的長易求得，即可得到BM的長，在等腰Rt△BPM中，BP=BM，可據(jù)此列出關(guān)于t的方程求得t的值．
解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：
，
解得；
∴y=-2x+12．

（2）∵拋物線同時(shí)經(jīng)過O（0，0），B（6，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為：x=3；
而CD∥x軸，且C、D都在拋物線的圖象上，
所以C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
即D（2，4）．

（3）如圖，延長QM交x軸于N；
由題意知：CQ=t，DQ=2-t，OP=3t，ON=4-t；
當(dāng)Q、M、P同線，即QP⊥x軸時(shí)，P、N重合；
此時(shí)OP+CQ=AC，即：
3t+t=4，
解得t=1；
①當(dāng)P在N點(diǎn)左側(cè)時(shí)，0≤t＜1；
PN=ON-OP=4-t-3t=4-4t，
故S=QM•PN=（2-t）（4-4t）=2t²-6t+4；
②當(dāng)P在N點(diǎn)右側(cè)時(shí)，1＜t＜2；
PN=OP-ON=3t-（4-t）=4t-4；
故S=QM•PN=（2-t）（4t-4）=-2t²+6t-4；
綜上可知，S、t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=2t²-6t+4（0≤t＜1）；
S=-2t²+6t-4（1＜t＜2）．

（4）易得∠OBD=∠BDC=45°，則BD=4，DM=（2-t）；
由于∠PBM＜90°，
因此分兩種情況討論：
①∠BPM=90°，即QP⊥OB，在（3）中已求得此時(shí)t=1；
②∠BMP=90°；
Rt△BPM中，∠PBM=45°，BP=6-3t，BM=4-（2-t）=2+t；
故BP=BM，即6-3t=（2+t），
解得t=0.4．
綜上可知，當(dāng)t=1或0.4時(shí)，△PMB是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)、圖形面積的求法、直角三角形的判定等知識(shí)，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．