Question

如圖，設在矩形ABCD中，點O為矩形對角線的交點，∠BAD的平分線AE交BC于點E，交OB于點F，已知AD=3，AB=．
（1）求證：△AOB為等邊三角形；
（2）求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理可得BD=2，再根據矩形對角線互相平分，所以AO、BO、AB的長都等于，所以是正三角形；
（2）根據角平分線可得△ABE是等腰直角三角形，那么BE=，∠AEB=45°，在△BEO中，∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，所以∠COE=180°-30°×2-75°=45°，所以△BEF≌△COE，那么BF=CE，進而得到CE=BC-BE=3-，得解．
解答：（1）證明：在Rt△ABD中，BD===2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=BD=，
又∵AB=，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB為等邊三角形；

（2）解：∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，△BEO是等腰三角形，
又∠EBO=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，
在△BOC中∠COE=180°-30°×2-75°=45°，
所以，在△BEF和△COE中，
∴△BEF≌△COE（ASA），
∴BF=CE，
又CE=BC-BE=3-，
∴BF=3-．
點評：三邊相等的三角形是等邊三角形；應注意利用全等把所求的線段整理到易求得長度的三角形中．