Question

（2013•臨沂）某工廠投入生產(chǎn)一種機(jī)器的總成本為2000萬(wàn)元．當(dāng)該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái)，但不超過(guò)70臺(tái)時(shí)，每臺(tái)成本y與生產(chǎn)數(shù)量x之間是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x（單位：臺(tái)）	10	20	30
y（單位：萬(wàn)元∕臺(tái)）	60	55	50

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）求該機(jī)器的生產(chǎn)數(shù)量；
（3）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種機(jī)器每月銷售量z（臺(tái)）與售價(jià)a（萬(wàn)元∕臺(tái)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．該廠生產(chǎn)這種機(jī)器后第一個(gè)月按同一售價(jià)共賣出這種機(jī)器25臺(tái)，請(qǐng)你求出該廠第一個(gè)月銷售這種機(jī)器的利潤(rùn)．（注：利潤(rùn)=售價(jià)-成本）

Answer 1

分析：（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出其關(guān)系式，由該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái)，但不超過(guò)70臺(tái)就可以確定自變量的取值范圍；
（2）根據(jù)每臺(tái)的成本乘以生產(chǎn)數(shù)量等于總成本建立方程求出其解即可；
（3）設(shè)每月銷售量z（臺(tái)）與售價(jià)a（萬(wàn)元∕臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n，運(yùn)用待定系數(shù)法求出其解析式，再將z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每臺(tái)的利潤(rùn)，從而求出總利潤(rùn)．

解答：解：（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b，由題意，得

60=10k+b 50=30k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=65

，
∴y=-

1

2

x+65．
∵該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái)，但不超過(guò)70臺(tái)，
∴10≤x≤70；

（2）由題意，得
xy=2000，
-

1

2

x²+65x=2000，
-x²+130x-4000=0，
解得：x₁=50，x₂=80＞70（舍去）．
答：該機(jī)器的生產(chǎn)數(shù)量為50臺(tái)；

（3）設(shè)每月銷售量z（臺(tái)）與售價(jià)a（萬(wàn)元∕臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n，由函數(shù)圖象，得

35=55m+n 15=75m+n

，
解得：

m=-1 n=90

，
∴z=-a+90．
當(dāng)z=25時(shí)，a=65．
當(dāng)x=50時(shí)，y=40總利潤(rùn)為：25（65-40）=625萬(wàn)元．
答：該廠第一個(gè)月銷售這種機(jī)器的利潤(rùn)為625萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一元二次方程的運(yùn)用，銷售問(wèn)題利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)的運(yùn)用，解答時(shí)求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．