【題目】已知直線與拋物線有一個公共點,且.
(Ⅰ)求拋物線頂點的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示);
(Ⅱ)說明直線與拋物線有兩個交點;
(Ⅲ)直線與拋物線的另一個交點記為.
(ⅰ)若,求線段長度的取值范圍;
(ⅱ)求面積的最小值.
【答案】(Ⅰ)拋物線頂點Q的坐標(biāo)為(-,-);(Ⅱ)理由見解析;
(Ⅲ)(i)5≤MN≤7.(ii)△QMN面積的最小值為.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由拋物線過點M(1,0),可得b=-2a,將解析式y(tǒng)=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+ )2- ,從而可得拋物線頂點Q的坐標(biāo)為(- ,- ).
(Ⅱ)由直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0),可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax2+ax-2a,可得ax2+(a-2)x-2a+2=0,(*),由根的判別式可得方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根,從而可得直線與拋物線有兩個交點.
(Ⅲ)由y=2x-2、y=ax2+ax-2a,可得點N(-2,-6).
(i)根據(jù)勾股定理得,MN2=20()2,再由-1≤a≤-,可得-2≤ ≤-1,從而可得<0,
繼而可得MN=3 ,從而可得MN的取值范圍.
(ii)作直線x=- 交直線y=2x-2于點E,得 E(-,-3),
從而可得△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM = ,即27a2+(8S-54)a+24=0,(*)
因為關(guān)于a的方程(*)有實數(shù)根, 從而可和S≥ ,繼而得到面積的最小值.
試題解析:(Ⅰ)因為拋物線過點M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a,所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2- ,所以拋物線頂點Q的坐標(biāo)為(-,-).
(Ⅱ)因為直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.
把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,(*),所以△=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4由(Ⅰ)知b=-2a,又a<b,所以a<0,b>0,所以△>0,所以方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根,故直線與拋物線有兩個交點.
(Ⅲ)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,
即x2+(1- )x-2+=0,所以(x-1)(x+2-)=0,
解得x1=1,x2 =-2,所以點N(-2,-6).
(i)根據(jù)勾股定理得,MN2=[(-2)-1]2+(-6)2=20()2,
因為-1≤a≤-,由反比例函數(shù)性質(zhì)知-2≤ ≤-1,所以<0,
所以MN=2 ( )=3 ,所以5≤MN≤7.
(ii)作直線x=- 交直線y=2x-2于點E,把x=-代入y=2x-2得,y=-3,即E(-,-3),
又因為M(1,0),N(-2,-6),且由(Ⅱ)知a<0,
所以△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM= = ,
即27a2+(8S-54)a+24=0,(*)
因為關(guān)于a的方程(*)有實數(shù)根,所以△=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36 )2,
又因為a<0,所以S= > ,所以8S-54>0,所以8S-54>0,
所以8S-54≥36,即S≥ ,
當(dāng)S=時,由方程(*)可得a=- 滿足題意.
故當(dāng)a=-,b =時,△QMN面積的最小值為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列句子中,不是命題的是( )
A.三角形的內(nèi)角和等于180度
B.對頂角相等
C.過一點作已知直線的垂線
D.兩點確定一條直線.
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【題目】如圖設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形,以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF,再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,此時正方形AEGH的邊長為 , 如此下去,則第n個正方形的邊長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽,其積分規(guī)則為:勝﹣3,平﹣1,負(fù)﹣0,當(dāng)全部比賽結(jié)束(每隊平均比賽12場)時,A隊共積19分,請通過計算,判斷A隊勝、平、負(fù)各幾場.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的一邊中點M到對角線交點O的距離為5cm,則菱形ABCD的周長為( )
A.5cm
B.10cm
C.20cm
D.40cm
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