【題目】已知直線與拋物線有一個公共,

求拋物線頂點坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)

說明直線與拋物線有兩個交;

直線與拋物線的另一個交點記為

,求線段長度取值范圍;

)求面積的最小值

【答案】)拋物線頂點Q的坐標(biāo)為(--);()理由見解析;

(i)5MN7.(ii)QMN面積的最小值為.

【解析】

試題分析:)由拋物線過點M(1,0),可得b=-2a,將解析式y(tǒng)=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+ )2- ,從而可得拋物線頂點Q的坐標(biāo)為(- ,- ).

)由直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0),可得m=-2.

由y=2x-2、y=ax2+ax-2a,可得ax2+(a-2)x-2a+2=0,(*),由根的判別式可得方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根,從而可得直線與拋物線有兩個交點.

由y=2x-2、y=ax2+ax-2a,可得點N(-2,-6).

(i)根據(jù)勾股定理得,MN2=20(2,再由-1a-,可得-2 -1,從而可得<0,

繼而可得MN=3 ,從而可得MN的取值范圍.

(ii)作直線x=- 交直線y=2x-2于點E,得 E(-,-3),

從而可得QMN的面積S=SQEN+SQEM = ,即27a2+(8S-54)a+24=0,(*)

因為關(guān)于a的方程(*)有實數(shù)根, 從而可和S 繼而得到面積的最小值.

試題解析:)因為拋物線過點M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a,所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2- ,所以拋物線頂點Q的坐標(biāo)為(-,-).

)因為直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.

把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,(*),所以=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4由()知b=-2a,又a<b,所以a<0,b>0,所以>0,所以方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根,故直線與拋物線有兩個交點.

)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,

即x2+(1- )x-2+=0,所以(x-1)(x+2-)=0,

解得x1=1,x2 =-2,所以點N(-2,-6).

(i)根據(jù)勾股定理得,MN2=[(-2)-1]2+(-6)2=20(2,

因為-1a-,由反比例函數(shù)性質(zhì)知-2 -1,所以<0,

所以MN=2 )=3 ,所以5MN7.

(ii)作直線x=- 交直線y=2x-2于點E,把x=-代入y=2x-2得,y=-3,即E(-,-3),

又因為M(1,0),N(-2,-6),且由()知a<0,

所以QMN的面積S=SQEN+SQEM= =

即27a2+(8S-54)a+24=0,(*)

因為關(guān)于a的方程(*)有實數(shù)根,所以=(8S-54)2-4×27×240,即(8S-54)2(36 2

又因為a<0,所以S= > ,所以8S-54>0,所以8S-54>0,

所以8S-5436,即S ,

當(dāng)S=時,由方程(*)可得a=- 滿足題意.

故當(dāng)a=-,b =時,QMN面積的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果水位升高6m時水位變化記作+6m,那么水位下降6m時水位變化記作( 。
A.﹣3m
B.3m
C.6m
D.﹣6m

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知代數(shù)式4x-53x-6的值相等,求x的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列句子中,不是命題的是( )
A.三角形的內(nèi)角和等于180度
B.對頂角相等
C.過一點作已知直線的垂線
D.兩點確定一條直線.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形,以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF,再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,此時正方形AEGH的邊長為 , 如此下去,則第n個正方形的邊長為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽,其積分規(guī)則為:勝﹣3,平﹣1,負(fù)﹣0,當(dāng)全部比賽結(jié)束(每隊平均比賽12場)時,A隊共積19分,請通過計算,判斷A隊勝、平、負(fù)各幾場.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若一個三角形的兩邊長為69,則第三邊長可能是(

A.16B.15C.4D.3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,菱形ABCD的一邊中點M到對角線交點O的距離為5cm,則菱形ABCD的周長為(
A.5cm
B.10cm
C.20cm
D.40cm

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列長度的三條線段能組成直角三角形的是( 。

A. 3,4,5 B. 2,3,4 C. 4,6,7 D. 5,11,12

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案