Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，直線y=x+1與分別交x軸于點B和點C，點D是直線與y軸的交點．
（1）求點B、C、D的坐標；
（2）設(shè)M（x，y）是直線y=x+1上一點，△BCM的面積為S，請寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式；來探究當點M運動到什么位置時，△BCM的面積為10，并說明理由．
（3）線段CD上是否存在點P，使△CBP為等腰三角形，如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：把y=0代入y=x+1得：0=x+1，
∴x=-1，
∴B（-1，0），
當x=0時，y=-x+3=0，
∴D（0，3），
把y=0代入y=-x+3得：0=-x+3，
∴x=4，
∴C（4，0），
答：B（-1，0），C（4，0），D（0，3）．

（2）解：BC=4-（-1）=5，
∵M（x，y）在y=x+1上，
∴M（x，x+1），
過M作MN⊥x軸于N，
①當M在x軸的上方時，MN=x+1，
∴S=BC×MN=×5×（x+1）=x+；
②當M在x軸的下方時，MN=|x+1|=-x-1，
∴S=BC×MN=×5×（-x-1）=-x-；
把s=10代入得：10=x+得：x=3，x+1=4；
把s=10代入y=-x-得：x=5=-5，x+1=-4；
∴M（3，4）或（-5，-4）時，s=10；
即S與x的函數(shù)關(guān)系式是，點M運動到（3，4）或（-5，-4）時，△BCM的面積為10．

（3）解：由勾股定理得：CD==5，
有三種情況：
①CB=CP=5時，此時P與D重合，P的坐標是（0，3）；
②BP=PC時，此時P在BC的垂直平分線上，P的橫坐標是x==，
代入y=-x+3得：y=，∴P（，）；
③BC=BP時，設(shè)P（x，-x+3），
根據(jù)勾股定理得：（x+1）²+=5²，
解得：x=-，x=4，
∵P在線段CD上，∴x=-舍去，
當x=4時，與C重合，舍去，
∴存在點P，使△CBP為等腰三角形，P點的坐標是（0，3）或（，）．
分析：（1）把x=0或y=0分別代入解析式，求出即可；
（2）求出BC，得到M（x，x+1），過M作MN⊥x軸于N，①當M在x軸的上方時，MN=x+1，②當M在x軸的下方時，MN=-x-1，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）求出CD，有三種情況：①CB=CP時，此時P與D重合，求出P的坐標；②BP=PC時，此時P在BC的垂直平分線上，求出P的橫坐標x，代入y=-x+3求出y即可；③BC=BP時，設(shè)P（x，-x+3），根據(jù)勾股定理和CB=BP得出方程，求出方程的解即可．
點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，點的坐標等知識點的應(yīng)用，主要考查學生運用性質(zhì)進行計算的能力，同時也培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，綜合性比較強．分類討論思想的運用．