14、如圖，自△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE；
證明：AE=AF．
分析：根據(jù)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則其兩組對(duì)邊的平方和相等，PA2+BF2=PB2+AF2；PB2+CD2=PC2+BD2，PC2+AE2=PA2+CE2；
代入BD=BF，CD=CE得：AE=AF．
解答：證明：
如圖，若四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則其兩組對(duì)邊的平方和相等．
連PA，PB，PC，
則有PA2+BF2=PB2+AF2；
PB2+CD2=PC2+BD2，
PC2+AE2=PA2+CE2；
三式相加得AE2+CD2+BF2=AF2+CE2+BD2，
利用條件BD=BF，CD=CE，
代入上式，得AE=AF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的正確運(yùn)用，本題中準(zhǔn)確的計(jì)算AE2+CD2+BF2=AF2+CE2+BD2是證明AE=AF的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．
（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；
②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，自△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE．
證明：AE=AF．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．

（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，請證明E是△ABC的自相似點(diǎn)．

（2）如圖③，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，

則∠A：∠B：∠C=    ．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省初賽試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，自△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE．
證明：AE=AF．

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