Question

18．如圖，已知一次函數(shù)y=-x+4與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）．
（1）當(dāng)這兩個函數(shù)圖象有兩個公共點時，求最大的整數(shù)k．
（2）利用（1）中所求k值，借助函數(shù)圖象求不等式：x+$\frac{k}{x}$＜4的解集．
（3）若已知的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點E、F，且EF=5$\sqrt{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，由題意△＞0列出不等式即可解決問題．
（2）畫出函數(shù)y=-x+4與y=$\frac{3}{x}$的圖象，如圖1所示，可知它們的交點坐標(biāo)為A（1，3），B（3，1），x+$\frac{k}{x}$＜4的解集，即$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集，由圖象可知反比例函數(shù)圖象在直線的下方部分對應(yīng)的自變量的取值范圍，即可解集．
（3）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，推出x₁+x₂=4，x₁x₂=k，y₁+y₂=4，y₁y₂=k，（x₁-x₂）²=（y₁-y₂）²=16-4k，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，
由題意△＞0，
∴16-4k＞0，
∴k＜4，
∴最大的整數(shù)k為3．

（2）畫出函數(shù)y=-x+4與y=$\frac{3}{x}$的圖象，如圖1所示，可知它們的交點坐標(biāo)為A（1，3），B（3，1），

x+$\frac{k}{x}$＜4的解集，即$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集，由圖象可知$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集為1＜x＜3．

（3）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=k，y₁+y₂=4，y₁y₂=k，
∴（x₁-x₂）²=（y₁-y₂）²=16-4k，
∵EF=5$\sqrt{2}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=50，
∴32-8k=50，
∴k=-$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式、二元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．