Question

如圖，BC為半圓O的直徑，D為AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）若AB=3，BC=5，cos∠ABE=，求ED的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC為半圓的直徑，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ABE與△DBC相似；
（2）由∠ABD=∠CBD，得出cos∠ABE=cos∠CBD=，再利用銳角三角函數(shù)關系得出BD，DE的長即可得出答案．
解答：解：（1）∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵=，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵∠ABD=∠CBD，
∴cos∠ABE=cos∠CBD=，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴cos∠ABE===，
解得：BE=，
cos∠CBD===，
解得：BD=2，
故ED的長為：BD-BE=2-=．
點評：此題考查了相似三角形的判定與圓周角的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是得出cos∠ABE=cos∠CBD=．