已知x1、x2是方程x2-(k-3)x+k+4=0的兩個實根,A、B為x軸上的兩點,其橫坐標分別為x1、x2(x1<x2).O為坐標原點,P點在y軸上(P點異于原點).設(shè)∠PAB=α,∠PBA=β.
(1)若α、β都是銳角,求k的取值范圍.
(2)當α、β都是銳角,α和β能否相等?若能相等,請說明理由;若不能相等,請證明,并比較α、β的大。
解:(1)∵x
1、x
2是方程x
2-(k-3)x+k+4=0的兩個實根,A、B為x軸上的兩點,其橫坐標分別為x
1、x
2(x
1<x
2).
∴△=k
2-10k-7>0得k<5-4
或k>5+4
,
若α、β都是銳角,
∴點A、B在原點兩旁,
∴x
1•x
2<0,
∴k<-4;
(2)設(shè)α=β,
則x
1+x
2=0,
∴k=3,
所以α≠β;
因為x
1+x
2=k-3<-7<0,
所以|x
1|>|x
2|,
所以O(shè)A>OB,
則PA>PB,在△PAB中,有α<β.
分析:(1)由于x
1、x
2是方程x
2-(k-3)x+k+4=0的兩個實根,由于得到其判別式是正數(shù),由此可以確定k的取值范圍,而A、B為x軸上的兩點,其橫坐標分別為x
1、x
2(x
1<x
2),O為坐標原點,P點在y軸上(P點異于原點).設(shè)∠PAB=α,∠PBA=β,若α、β都是銳角,由此得到點A、B在原點兩旁,所以x
1•x
2<0,這樣就可以解決問題;
(2)若α=β,則x
1+x
2=0,由此得到k=3,所以判別式是正數(shù),所以的得到α≠β;然后利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到α、β的大小關(guān)系.
點評:此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,首先利用判別式確定k的取值范圍,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題.