Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+30的圖象經(jīng)過4（3，0），B（5，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若（1）中的二次函數(shù)圖象與y，軸交于點(diǎn)D，在y軸正半軸上有一點(diǎn)P（0，n），并且以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的前提下，二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)Q，使四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式求出a，b即可求出二次函數(shù)表達(dá)式及C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作輔助線連接DC，DA，PA，可看出△DPA∽△CAD，即AP∥DC，過C點(diǎn)向y軸引垂線垂足為H，推出△DCH∽△PAO結(jié)合坐標(biāo)求出線段長度根據(jù)相似三角形知識(shí)利用對(duì)應(yīng)邊成比例做題即可；
（3）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)結(jié)合圖先得出PQ∥AB，PQ=AB，得出Q坐標(biāo)，代入二次函數(shù)式看等式是否相等即可．
解答：解：（1）把A（3，0），B（5，0）兩點(diǎn)代入y=ax²+bx+30可得

解方程組可得
所以函數(shù)表達(dá)式為y=2x²-16x+30．
所以對(duì)稱軸為x=4，
將x=4代入函數(shù)可得y=-2，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2）；

（2）由題意可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，30），連接DC，DA，PA，可看出若△DPA∽△CAD，則∠PAD=∠ADC，

即AP∥DC，過C點(diǎn)向y軸引垂線垂足為H，
即△DCH∽△PAO?=
由圖可知DH=32，CH=4，AO=3
得OP=24，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，24）；

（3）若四邊形PABQ為平行四邊形，那么AB∥PQ，AB=PQ=2，
所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，24），

將Q（2，24）代入二次函數(shù)式左邊=24，右邊=6，左邊≠右邊，
所以二次函數(shù)圖象上不存在點(diǎn)Q使得四邊形PABQ為平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)和應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合以及三角形知識(shí)的應(yīng)用．