Question

求方程7x+19y=213的所有正整數(shù)解．

Answer 1

用方程
7x+19y=213①
的最小系數(shù)7除方程①的各項(xiàng)，并移項(xiàng)得
x=

213-9y

7

=30-2y+

3-5y

7

②
因?yàn)閤，y是整數(shù)，故3-5y/7=u也是整數(shù)，于是5y+7u=3．則
y=

3-7u

5

=-u-+

3-2u

5

③，
令

3-2u

5

=v，則2u+5v=3．④
由觀察知u=-1，v=1是方程④的一組解．將u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，
代入②得x=25．于是方程①有一組解x₀=25，y₀=2，
所以它的一切解為

x=25-19t y=2+7t

，
由于要求方程的正整數(shù)解，所以

25-19t＞0 2+7y＞0

，
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整數(shù)解為：

x=25 y=2

和

x=6 y=9

．