Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE＝3，連接DB，過點E作EM∥BD，交BA的延長線于點M．

（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：EM是⊙O的切線；
（3）若弦DF與直徑AB相交于點P，當∠APD＝45º時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

(1)；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：（1）連結(jié)OE，根據(jù)已知條件得出OC=OE，由勾股定理可求出OE的長；
（2）由（1）知∠AOE=60°，,從而得出∠BDE=60°，又BD∥ME，所以∠MED=∠BDE=60°即∠MEO=90°，從而得證；
（3）連結(jié)OF，由∠DPA=45°知∠EOF=2∠EDF=90°所以，通過計算得出結(jié)論.
試題解析：連結(jié)OE，如圖：

∵DE垂直平分半徑OA
∴OC=，,
∴∠OEC=30°
∴
（2）由（1）知：∠AOE=60°，,
∴
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°
∴∠MEO=90°
∴EM是⊙O的切線。
（3）連結(jié)OF
∵∠DPA=45°
∴∠EOF=2∠EDF=90°
∴
考點: 1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.扇形的面積.