Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中有一個半徑為r的圓A，圓心A在x軸的正半軸上，從坐標(biāo)原點(diǎn)O向圓A作切線，切點(diǎn)是B．
（1）如果OB=3

3

，OA與半徑r的差是3，求圓A的半徑r，點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠AOB的正弦值；
（2）設(shè)∠AOB=α，在圖中確定一個與2α大小相等的角（可以添加輔助線），并說明理由；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，試探究sin2α與2sinα是否相等．如果相等，請說明理由；如果不相等，請你找出它們之間正確的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)，勾股定理即可推出r的長度，即可推出A點(diǎn)的坐標(biāo)，
（2）作輔助線，取OA的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作OA的垂線，交OB于點(diǎn)C，連接AC，則OC=AC，推出∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α，
（3）根據(jù)（1）和（2）推出的結(jié)論，即得：sinα=

AB

OA

，cosα=

OB

OA

，sin2α=

AB

AC

，然后根據(jù)△ABO∽△CDO，推出OC=

OD•OA

OB

，由OD=

1

2

OA，推出sin2α=2•

OB

OA

•

AB

OA

=2cosα•sinα．

解答：解：（1）AB=r，OB=3

3

，OA=r+3，
∵OB與圓A相切，
∴AB⊥BO，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，OA²=AB²+OB²，
∴(r+3)2=r2+(3

3

)2，
∴r=3，
∴A（6，0），
∴sin∠AOB=

AB

OA

=

1

2

，

（2）如圖，取OA的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作OA的垂線，交OB于點(diǎn)C，連接AC，
∵DC是OA的垂直平分線，
∴OC=AC，
∴∠COA=∠CAO=α，
∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α．

（3）由（1）可知∠B=90°，
∴在Rt△ABO中sinα=

AB

OA

，cosα=

OB

OA

，
由（2）可知DC⊥OA，
∴∠CDO=90°在Rt△ABC中sin2α=

AB

AC

，
在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠O=∠O，∠CDO=∠B，
∴△ABO∽△CDO，
∴

OD

OB

=

OC

OA

，
∴OC=

OD•OA

OB

，
∵OD=

1

2

OA，且OC=AC，
∴AC=

1 2 OA•OA

OB

=

OA2

2OB

，
∴sin2α=

AB

AC

=

AB

OA2 2OB

=

2OB•AB

OA2

=2•

OB

OA

•

AB

OA

=2cosα•sinα．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，切線的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練并正確地運(yùn)用各性質(zhì)定理，認(rèn)真進(jìn)行等量代換．