Question

（2012•福州質(zhì)檢）如圖1，已知拋物線y=

4

3

x²+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（0，4）兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的另一個交點為C，求點C關于直線AB的對稱點C'的坐標；
（3）若點D是第二象限內(nèi)點，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點E、F、H（如圖2），問在拋物線的對稱軸上是否存在一點一點P，使得|PH-PA|的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（3，0）、B（0，4）兩點代入求出即可；
（2）首先求出C點坐標，再利用△CTC'∽△BOA，得出

C′T

OA

=

CC′

AB

=

CT

OB

，進而得出C'T=

48

25

，CT=

64

25

的值求出C′點的坐標；
（3）首先求出圓的半徑，再利用拋物線的對稱性，得PA=PC，根據(jù)|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，得出當H、C、P三點共線時，|PH-PC|最大，求出即可．

解答：解：（1）由題意得：

4 3 ×9+3b+c=0 c=4

，
解得：

b=- 16 3 c=4

．
∴拋物線解析式為y=

4

3

x²-

16

3

x+4；

（2）令y=0，得

4

3

x²-

16

3

x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=3．
∴C點坐標為（1，0）．
作CQ⊥AB，垂足為Q，延長CQ，使CQ=C'Q，則點C′，
就是點C關于直線AB的對稱點．
由△ABC的面積得：

1

2

CQ•AB=

1

2

CA•BO，
∵AB=

AO2+BO2

=5，CA=2，
∴CQ=

8

5

，CC'=

16

5

．
作C'T⊥x軸，垂足為T，
∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°，
∴∠BAO=∠CC′T，
∵∠BOA=∠CTC′，
∴△CTC'∽△BOA．
∴

C′T

OA

=

CC′

AB

=

CT

OB

，
∴C'T=

48

25

，CT=

64

25

∴OT=1+

64

25

=

89

25

，
∴C'點的坐標為（

89

25

，

48

25

）；

（3）設⊙D的半徑為r，
則AE=r+3，BF=4-r，HB=BF=4-r．
∵AB=5，且AE=AH，
∴r+3=5+4-r，
∴r=3．    
HB=4-3=1．
作HN⊥y軸，垂足為N，
則

HN

OA

=

HB

AB

，

BN

OB

=

HB

AB

，
∴HN=

3

5

，BN=

4

5

，
∴H點坐標為（-

3

5

，

24

5

）．
根據(jù)拋物線的對稱性，得PA=PC，
∵|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，
∴當H、C、P三點共線時，|PH-PC|最大．
∵HC=

(1+ 3  5  )2+( 24 5 )2

=

8

5

10

，
∴|PH-PA|的最大值為

8

5

10

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結合得出當H、C、P三點共線時，|PH-PC|是此題難點．