Question

【題目】綜合題

（1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個(gè)以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 ．
（2）【拓展應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 ． （用含a，h的代數(shù)式表示）
（3）【靈活應(yīng)用】如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．
（4）【實(shí)際應(yīng)用】如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測(cè)量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）
（3）

解：解：如圖1，延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE、CD交于點(diǎn)H，取BF中點(diǎn)I，F(xiàn)G的中點(diǎn)K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20、DH=16，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵ ，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=20，

∴BI= =24，

∵BI=24＜32，

∴中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，

過(guò)點(diǎn)K作KL⊥BC于點(diǎn)L，

由（1）知矩形的最大面積為 ×BGBF= ×（40+20）×（32+16）=720，

答：該矩形的面積為720

（4）

如圖2，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，

∵tanB=tanC= ，

∴∠B=∠C，

∴EB=EC，

∵BC=108cm，且EH⊥BC，

∴BH=CH= BC=54cm，

∵tanB= = ，

∴EH= BH= ×54=72cm，

在Rt△BHE中，BE= =90cm，

∵AB=50cm，

∴AE=40cm，

∴BE的中點(diǎn)Q在線段AB上，

∵CD=60cm，

∴ED=30cm，

∴CE的中點(diǎn)P在線段CD上，

∴中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上，

由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為 BCEH=1944cm2，

答：該矩形的面積為1944cm2

【解析】解：（1）【探索發(fā)現(xiàn)】
∵EF、ED為△ABC中位線，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，
又∠B=90°，
∴四邊形FEDB是矩形，
則 = = = ，
所以答案是： ；
⑵【拓展應(yīng)用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
∴PN=a﹣ PQ，
設(shè)PQ=x，
則S矩形PQMN=PQPN=x（a﹣ x）=﹣ x2+ax=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴當(dāng)PQ= 時(shí)，S矩形PQMN最大值為 ，
所以答案是： ；
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等才能正確解答此題．