Question

19．如圖1是一張等腰直角三角形彩色紙，將斜邊上的高線四等分，然后裁出三張寬度相等的長方形紙條，若恰好可以用這些紙條為一幅正方形美術作品鑲邊（紙條不重疊），則這張彩色紙的面積與鑲嵌所得的作品（如圖2）面積之比為（　�。�

• A． 2：3
• B． 3：4
• C． 1：1
• D． 4：3

Answer 1

分析 設三張寬度相等的長方形紙條的寬為x，則△ABC的高為4x，如圖1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=8x，則S_△ABC=16x²，根據(jù)平行線分線段成比例定理由DE∥AB，F(xiàn)G∥AB，MN∥AB得到$\frac{DE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{FG}{AB}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{MN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，則DE=2x，F(xiàn)G=4x，MN=6x，所以DE+FG+MN=2x+4x+6x=12x，即鑲嵌所得的作品的周長為16x，所以鑲嵌所得的作品的面積=16x²，然后計算這張彩色紙的面積與鑲嵌所得的作品（如圖2）面積之比．

解答 解：設三張寬度相等的長方形紙條的寬為x，則等腰直角三角形的高為4x，如圖1，
∴AB=8x，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•4x•8x=16x²，
∵DE∥AB，F(xiàn)G∥AB，MN∥AB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{FG}{AB}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{MN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE=$\frac{1}{4}$AB=2x，F(xiàn)G=4x，MN=6x，
∴DE+FG+MN=2x+4x+6x=12x，
∴鑲嵌所得的作品的周長為12x+4x=16x，
∴鑲嵌所得的作品的邊長為4x，
∴鑲嵌所得的作品的面積=16x²，
∴這張彩色紙的面積與鑲嵌所得的作品（如圖2）面積之比為1：1．
故選C．

點評 本題考查了相似三角形的應用：從實物圖中抽象出幾何圖形，再證明三角形相似，然后利用相似比計算相應的線段長．也考查了等腰三角形和正方形的性質(zhì)．