Question

一個三角形三邊的長是6，8，10，同時平分這個三角形周長和面積的直線有（　　）條．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應(yīng)分情況討論：
（1）若直線過△ABC的某個頂點(diǎn)；
（2）若直線交△ABC的某兩條邊．

解答：解：（1）若直線過△ABC的某個頂點(diǎn)．如圖，
假設(shè)直線過點(diǎn)A．如果直線平分△ABC的面積，則有BN=NC，此時，AC＞AB，
所以周長相等不可能．同理直線過B、C也不存在；


（2）若直線交AB、BC于點(diǎn)M、N．如圖，
設(shè)BN=x，則BM=12-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=

8(12-x)

10

；
根據(jù)S_△MBN=

1

2

MD•BN=

1

2

S_△ABC，
得BN=6+

6

，BM=6-

6

，即這樣的直線存在，且只有一條，
綜上，同時平分這個三角形周長和面積的直線有1條．
故選A．

點(diǎn)評：此題主要分情況考慮．分析的時候，首先保證符合其中一個條件，再進(jìn)一步看是否滿足另一個條件．