Question

（2009•黃岡模擬）對口扶貧活動中，為了盡快脫貧（無債務(wù)）致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘疾人企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費（不計息），在甲提供的材料中有：①這種消費品的進(jìn)價每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售價格P（元）的關(guān)系如圖；③每月需各種開支2000元．
（1）為使該店剛好能夠維持職工生活，商品的價格應(yīng)定為多少？
（2）當(dāng)商品的價格每件多少元時，月利潤和除職工最低生活費的余額最大并求出最大值．
（3）企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？

Answer 1

【答案】分析：（1）如果使該店剛好能夠維持職工生活，那么該店經(jīng)營的利潤只能保證企業(yè)乙的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元以及每月所需的各種開支2000元，據(jù)此列出方程，從而確定商品的價格；
（2）設(shè)月利潤和除職工最低生活費的余額為L，列出L與售價P的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出L取最大值時，自變量P的值，從而確定商品的價格；
（3）企業(yè)乙脫貧即還清5.8萬元的轉(zhuǎn)讓價格和5萬元的無息貸款，要求最早脫貧時間，由上問P的值，根據(jù)題意設(shè)可在n年后脫貧，則此n年經(jīng)營的利潤≥50000+58000，求出n的最小值，得出結(jié)果．
解答：解：（1）根據(jù)圖象，當(dāng)14≤P≤20時，
設(shè)Q=kP+b，把（14，22），（20，10）代入，得，
解得，
則Q=-2P+50；
當(dāng)20≤P≤26時，
設(shè)Q=mP+n，把（20，10），（26，1）代入，得，
解得，
則Q=-1.5P+40，
即Q=，
若商品的價格應(yīng)定為P元時，該店剛好能夠維持職工生活，
則有100（P-14）Q=3600+2000，分兩種情況：
第一種：當(dāng)14≤P≤20時，即100（P-14）（-2P+50）=5600，解得P₁=18，P₂=21（不合題意，舍去）；
第二種：當(dāng)20≤P≤26時，即100（P-14）（-1.5P+40）=5600，解得P₁=22，P₂=（不合題意，舍去）．
答：為使該店剛好能夠維持職工生活，商品的價格應(yīng)定為18元或22元．

（2）設(shè)月利潤和除職工最低生活費的余額為L，則L=100（P-14）Q-2000．分兩種情況：
第一種：當(dāng)14≤P≤20時，即L=100（P-14）（-2P+50）-3600=-200P²+7800P-72000，
則當(dāng)P==19.5時，L有最大值，
此時L=-3600=4050-2000=4050；
第二種：當(dāng)20≤P≤26時，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
則當(dāng)P==時，L有最大值，
此時L=-3600=4016-2000=2016．
因為4050＞2016，
所以當(dāng)P=19.5元時，月利潤最大，為4050元．

（3）設(shè)可在n年后脫貧，由題意有
12n（4050-3600）≥50000+58000，
解得n≥20，即最早在20年后脫貧．
點評：本題是一道綜合題，難度較大．重點考查了一次函數(shù)圖象和實際應(yīng)用相結(jié)合的問題，能夠從圖象上準(zhǔn)確地獲取信息，本題中Q與P的關(guān)系是分段的，要注意對應(yīng)，這是做本題的關(guān)鍵．