Question

教材第九章中探索乘法公式時(shí)，設(shè)置由圖形面積的不同表示方法驗(yàn)證了乘法公式．我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)圖形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a²+b²=c²，稱為勾股定理．

（1）愛動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請你幫助小明完成驗(yàn)證的過程．
（2）小明又把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)梯形（如圖3），利用上面探究所得結(jié)論，求當(dāng)a=3，b=4時(shí)梯形ABCD的周長．（3）如圖4，在每個(gè)小正方形邊長為1的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上．請?jiān)趫D中畫出△ABC的高BD，利用上面的結(jié)論，求高BD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；
（2）由（1）中結(jié)論先求出c的值，再根據(jù)周長公式即可得出梯形ABCD的周長；
（3）先根據(jù)高的定義畫出BD，由（1）中結(jié)論求出AC的長，再根據(jù)△ABC的面積不變列式，即可求出高BD的長．

解答：（1）證明：由圖得，

1

2

×ab×4+c²=（a+b）×（a+b），
整理得，2ab+c²=a²+b²+2ab，
即a²+b²=c²；

（2）解：∵a=3，b=4，
∴c=

a2+b2

=5，
梯形ABCD的周長為：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；

（3）解：如圖，BD是△ABC的高．
∵S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

AB×3，AC=

42+32

=5，
∴BD=

3AB

AC

=

3×3

5

=

9

5

．

點(diǎn)評：本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，梯形的周長，三角形的高與面積，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．