Question

如圖，已知一次函數y=0.5x+2的圖象與x軸交于點A，與二次函數y=ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點B，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．
（1）求二次函數y=ax²+bx+c的解析式；
（2）設一次函數y=0.5x+2的圖象與二次函數y=ax²+bx+c的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據y=0.5x+2交x軸于點A，與y軸交于點B，即可得出A，B兩點坐標，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．得出可設二次函數y=ax²+bx+c=a（x-2）²，進而求出即可；
（2）根據當B為直角頂點，當D為直角頂點，以及當P為直角頂點時，分別利用三角形相似對應邊成比例求出即可．
解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x軸于點A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
與y軸交于點B，
∵x=0，
∴y=2
∴B點坐標為：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2
∴可設二次函數y=a（x-2）²，
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函數的解析式：y=0.5x²-2x+2；

（2）（Ⅰ）當B為直角頂點時，過B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點
由Rt△AOB∽Rt△BOP₁
∴=，
∴=，
得：OP₁=1，
∴P₁（1，0），
（Ⅱ）作P₂D⊥BD，連接BP₂，
將y=0.5x+2與y=0.5x²-2x+2聯立求出兩函數交點坐標：
D點坐標為：（5，4.5），
則AD=，
當D為直角頂點時
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D，
∴=，
=，
解得：AP₂=11.25，
則OP₂=11.25-4=7.25，
故P₂點坐標為（7.25，0）；
（Ⅲ）當P為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于點E，設P₃（a，0）
則由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D
得：，
∴，
∵方程無解，
∴點P₃不存在，
∴點P的坐標為：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．
點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及求函數與坐標軸交點和相似三角形的與性質等知識，根據已知進行分類討論得出所有結果，注意不要漏解．