Question

己知：拋物線y=x²-（k+1）x+k
（1）試求k為何值時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）如圖，若拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使△AOC與△COB相似？若存在，求出相應(yīng)的k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)當(dāng)y=0時(shí)，得出的關(guān)于x的二元一次方程只有一個(gè)解，即△=0，可據(jù)此求出k的值．
（2）要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠CAO=∠BCO時(shí)，那么∠ACB=90°，根據(jù)射影定理可得出OC²=OA•OB、OC是C的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，而OA、OB分別是（1）中方程的兩個(gè)根的絕對(duì)值，那么可據(jù)此求出k的取值．
②當(dāng)∠ACO=∠BCO時(shí)，此時(shí)三角形AOC與BOC全等，那么對(duì)稱軸就是x=0，據(jù)此可求出k的值．

解答：解：（1）由題意可知；當(dāng)y=0時(shí)，方程x²-（k+1）x+k=0，只有一個(gè)解，
即：△=（k+1）²-4k=（k-1）²=0，
∴k=1，
即：當(dāng)k=1時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（2）分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠CAO=∠BCO時(shí)．

CO

AO

=

BO

CO

，
即CO²=AO•BO，
由于CO=k，AO•BO=-k，
k²=-k，k（k+1）=0，
∴k=0，k=-1．
當(dāng)k=0時(shí)，C點(diǎn)與B點(diǎn)或A點(diǎn)重合，
因此不合題意舍去．
②當(dāng)∠ACO=∠BCO時(shí)，
∵∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，
因此△AOC≌△BOC，那么y軸就是拋物線的對(duì)稱軸，
即

k+1

2

=0，k=-1．
綜上所述，當(dāng)k=-1時(shí)，△AOC與△COB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解是本題的基本思路．注意（2）中要分類進(jìn)行討論．