Question

小明投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500，在銷售過程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，而每件的利潤不高于成本價(jià)的60%．
（1）設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？
（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）

Answer 1

解：（1）由題意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x²+700x-10000，即w=-10x²+700x-10000（20≤x≤32）

（2）對(duì)于函數(shù)w=-10x²+700x-10000的圖象的對(duì)稱軸是直線．
又∵a=-10＜0，拋物線開口向下．∴當(dāng)20≤x≤32時(shí)，W隨著X的增大而增大，
∴當(dāng)x=32時(shí)，W=2160
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為32元時(shí)，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．

（3）取W=2000得，-10x²+700x-10000=2000
解這個(gè)方程得：x₁=30，x₂=40．
∵a=-10＜0，拋物線開口向下．
∴當(dāng)30≤x≤40時(shí)，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴當(dāng)30≤x≤32時(shí)，w≥2000．
設(shè)每月的成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000
∵k=-200＜0，
∴P隨x的增大而減小．
∴當(dāng)x=32時(shí)，P的值最小，P_最小值=3600．
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元．
分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，利潤=（定價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量，從而列出關(guān)系式；
（2）首先確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)其增減性確定最大利潤即可；
（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圖象，求出每月的成本．
點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查拋物線的基本性質(zhì)，另外將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實(shí)際問題．