Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N．動點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運動．同時，動點Q從點N出發(fā)沿射線NC運動，且始終保持MQ丄MP．設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由：

（2）若∠ABC=60°，AB=4厘米．

①求動點Q的運動速度；

②設△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）相似     （2）①每秒鐘1cm    ②S=

【解析】

試題分析：（1）相似．

證明：∵MN⊥BC交AC于點N，MQ丄MP，

∴∠BMN=∠PMQ=90°，

即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，

∴∠PMB=∠NMQ，

∵△ABC與△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，

∴△ABC∽△MNC，

∴∠B=∠MNC，

∴△PBM∽△QNM；

（2）①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4厘米，

則BC=8cm，AC=12cm．

由M為BC中點，得BM=CM=4，

若BP=cm．

∵在Rt△CMN中，∠CMN=90°，∠MCN=30°，

∴NC==8cm，

∵△PBM∽△QNM，

∴=，

即NQ=1，

則求動點Q的運動速度是每秒鐘1cm．

②AP=AB﹣BP=4﹣t，

AQ=AN+NQ=AC﹣NC+NQ=12﹣8+t=4+t，

則當0＜t＜4時，△APQ的面積為：S=AP?AQ=（4﹣t）（4+t）=，

當t＞4時，AP=t﹣4=（t﹣4）．

則△APQ的面積為：S=AP?AQ=（t﹣4）（4+t）=．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形與函數(shù)的綜合應用，利用時間t正確表示出題目中線段的長度是解題的關鍵．