Question

如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）已知sinA=，⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定；扇形面積的計(jì)算。

分析：

（1）連接OE．根據(jù)OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根據(jù)BE是△ABC的角平分線得到∠OEB=∠EBC，從而判定OE∥BC，最后根據(jù)∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°證得結(jié)論AC是⊙O的切線．

（2）連接OF，利用S_陰影部分=S_梯形OECF﹣S_扇形EOF求解即可．

解答：

解：（1）連接OE．

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB                                       

∵BE是△ABC的角平分線

∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC

∴OE∥BC                                             

∵∠C=90°

∴∠AEO=∠C=90°                                     

∴AC是⊙O的切線；

（2）連接OF．

∵sinA=，∴∠A=30°                               

∵⊙O的半徑為4，∴AO=2OE=8，

∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12，

∴BC=AB=6   AC=6，

∴CE=AC﹣AE=2．

∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∴∠EOF=60°．

∴S_梯形OECF=（2+4）×2=6．

 S_扇形EOF==

∴S_陰影部分=S_梯形OECF﹣S_扇形EOF=6﹣．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的判定與性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是連接圓心和切點(diǎn)，利用過切點(diǎn)且垂直于過切點(diǎn)的半徑來判定切線．