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1.如圖①,已知A(0,a),B(b,0),P(c,0)為坐標軸正半軸上三點,且滿足a2+b2+(a-2c)2=0
(1)判斷△AOB的形狀,并求BPOP的值;
(2)過A作AQ⊥AP,且AQ=AP,點Q在第二象限,連接BQ交y軸于M點,請在圖②作出圖形,并求OMOP的值;
(3)如圖③,過P作AP⊥BF,連按BF,若∠OAP+∠F=45°,求APPF的值.

分析 (1)利用非負性求出a,b,c的值,即可OA,OB,OP,PB即可得出結(jié)論;
(2)先利用同角的余角相等得出∠AQE=∠PAO,進而判斷出△AQE≌△PAO,即可判斷出AE=OP,QE=OA=OB,繼而判斷出△MEQ≌△MOB,即可得出OM=12OE,即可得出結(jié)論;
(3)作出輔助線得出∠PAE+∠APE=45°,進而判斷出∠APE=∠F,再用同角的余角相等判斷出∠PAO=∠FPB,進而得出,△APE≌△PFB,得出AP=PF,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)△AOB是等腰直角三角形,
理由:∵a2+b2+(a-2c)2=0,
∴a-2=0,b-2=0,a-2c=0,
∴a=2,b=2,c=2
∴A(0,2),B(2,0),P(2,0),
∴OA=2,OB=2,OP=2
∴OA=OB,BP=OB-OP=2-2,
在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∵BP=2-2,OP=2
BPOP=222=2-1;
(2)如圖②,過點Q作QE⊥OA于E,
∴∠AQE+∠QAE=90°,
∵AQ⊥AP,
∴∠PAQ=90°,
∴∠QAE+∠PAO=90°,
∴∠AQE=∠PAO,
在△AQE和△PAO中,{AEQ=POA=90°AQE=PAOAQ=AP
∴△AQE≌△PAO(AAS),
∴QE=OA=OB=2,AE=OP=2,
∴OE=OA-AE=2-2,
在△MEQ和△MOB中,{EMQ=OMBMEQ=MOP=90°QE=OB,
∴△MEQ≌△MOB(AAS),
∴ME=OM=12OE=222=2-1,
∵OP=2,
OMOP=212=222
(3)如圖③,在OA上取一點E,使OE=OP,
∵OA=OB,∴AE=PB,∵∠POE=90°,
∴∠OEP=45°,
∴∠OAP+∠APE=45°,
∵∠OAP+∠F=45°,
∴∠APE=∠F,
∵AP⊥BF,
∴∠APO+∠FPB=90°,
∵∠APO+∠PAO=90°,
∴∠PAO=∠FPB,
在△APE和△PFB中,{APE=FPAE=FPBAE=PB
∴△APE≌△PFB(AAS),
∴AP=PF,
APPF=1.

點評 此題三角形的綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),同角的余角相等,解(1)的關(guān)鍵是求出a,b,c,解(2)的關(guān)鍵是作出輔助線求出QE=OB=2,OE=2-2,解(3)的關(guān)鍵是作出輔助線判斷出∠APE=∠F,是一道中等難度的中考�?碱}.

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