Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點P（2，）為圓心的圓與y軸相切于點A，與x軸相交于B、C兩點（點B在點C的左邊）．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．如果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；如果若不存在，請說明理由；
（3）如果一個動點D自點P出發(fā)，先到達y軸上的某點，再到達x軸上某點，最后運動到（1）中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接PA，PB，PC，過點P作PG⊥BC于點G，求出P點的坐標，然后求得點A、B、C的坐標用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；
（2）因為△ABP和△CBP的面積是菱形ABCP面積的，故過點A、C作BP的平行線，與拋物線的交點即是滿足條件的點M．
（3）將原方程配方后得到拋物線的頂點Q（2，），然后作點P關(guān)于y軸的對稱點P'，則P’（-2，）．連接P'Q，則P'Q是最短總路徑，根據(jù)勾股定理，可得P′Q=．
解答：解：（1）連接PA，PB，PC，過點P作PG⊥BC于點G，
∵⊙P與y軸相切于點A，
∴PA⊥y軸，
∵P（2，），
∴OG=AP=2，PG=OA=，
∴PB=PC=2，
∴BG=1，
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴A（0，），B（1，0），C（3，0），
根據(jù)題意設二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）（x-3），
則，
解得：a=．
故二次函數(shù)的解析式為：．

（2）∵點B（1，0），點P（2，），
∴BP的解析式為：y=x-；
則過點A平行于BP的直線解析式為：y=x+，過點C平行于BP的直線解析式為：y=x-3l₂，
從而可得①：x+=x²-x+，
解得：x₁=0，x₂=7，
從而可得滿足題意的點M的坐標為（0，）、（7，8）；
②x-3=x²-x+，
解得：x₁=3，x₂=4，
從而可得滿足題意的點M的坐標為：（3，0）、（4，）
綜上可得點M的坐標為（0，），（3，0），（4，），（7，）．

（3）∵=，
∴拋物線的頂點Q（2，）．
作點P關(guān)于y軸的對稱點P'，則P'（-2，）．
連接P'Q，則P'Q是最短總路徑，根據(jù)勾股定理，可得P'Q=．
．
點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱最短路徑、菱形的性質(zhì)，難點在第二問，關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)得出點M的尋找辦法，難度較大．