Question

【題目】如圖，已知點A（﹣1，0），B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，其頂點為M．

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；
（2）試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）在拋物線上是否存在點N，使得S△BCN=4？如果存在，那么這樣的點有幾個？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；

由射影定理，得：OC2=OAOB=4，則OC=2，即點C（0，2）；

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣4），將C點代入上式，得：

2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣ ，

∴拋物線的解析式：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2

（2）

解：直線CM與以AB為直徑的圓相切．理由如下：

如右圖，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，連接CD．

由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則點D為Rt△ABC斜邊AB的中點，CD= AB．

由（1）知：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

則點M（ ， ），ME= ﹣2= ；

而CE=OD= ，OC=2；

∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△CEM，

∴∠CME=∠CDO，

∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，

而CD等于⊙D的半徑長，所以直線CM與以AB為直徑的圓相切

（3）

解：由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2 ；

則：S△BCN= BCh= ×2 ×h=4，h= ；

過點B作BF⊥BC，且使BF=h= ，過F作直線l∥BC交x軸于G．

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO= ，BG=BF÷sin∠BGF= ÷ =4；

∴G（0，0）或（8，0）．

易知直線BC：y=﹣ x+2，則可設(shè)直線l：y=﹣ x+b，代入G點坐標，得：b=0或b=4，則：

直線l：y=﹣ x或y=﹣ x+4；

聯(lián)立拋物線的解析式后，可得：

或 ，

則 N1（2+2 ，﹣1﹣ ）、N2（2﹣2 ，﹣1+ ）、N3（2，3）．

【解析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用射影定理能求出OC的長，即可確定C點坐標，再利用待定系數(shù)法能求出該拋物線的解析式．（2）此題的解法有兩種：①過AB的中點作直線CM的垂線，比較該垂線段與AB的一半（半徑）的大小關(guān)系，若兩者相等，則直線CM與AB為直徑的圓相切；若該垂線段小于半徑長，則兩者的位置關(guān)系為相交；若該垂線段大于半徑長，則兩者的位置關(guān)系為相離；②連接AB中點（設(shè)為點D）和點C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知：CD為⊙D的半徑長，那么只需判斷CD是否與CM垂直即可，若垂直，則直線CM與⊙D相切；若不垂直，則相交．（3）先求出線段BC的長，根據(jù)△BCN的面積，可求出BC邊上的高，那么做直線l，且直線l與直線BC的長度正好等于BC邊上的高，那么直線l與拋物線的交點即為符合條件的N點．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�