設(shè)關(guān)于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的兩根都是整數(shù).求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值.
分析:求出二根x1=
2-k
k-4
,x2=
k+2
2-k
,從中消去k得x1x2+3x1+2=0,分解得x1(x2+3)=-2.借助方程組得k=6,3,
10
3
解答:解:原方程可化為(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,[(k-4)x+(k-2)][(k-2)x+(k+2)]=0.
∵(k-4)(k-2)≠0
∴x1=-1-
2
k-4
,
x2=-1-
4
k-2
;
∴k-4=-
2
x1+1
(x1≠-1)①
k-2=-
4
x2+1
(x2≠-1)②
由①②消去k,得 x1•x2+3x1+2=0.
∴x1(x2+3)=-2.
由于x1,x2都是整數(shù).
x1=-2
x2+3=1
,
x1=1
x2+3=-2
x1=2
x2+3=-1
,即
x1=-2
x2=-2
x1=1
x2=-5
,
x1=2
x2=-4

∴k=6,3,
10
3

經(jīng)檢驗(yàn),k=6,3,
10
3
滿足題意.
點(diǎn)評(píng):本題方程整理成關(guān)于x的一元二次方程的一般形式后,二次項(xiàng)系數(shù)不為0 是隱含的條件,應(yīng)考慮.將參數(shù)k用方程兩根表示并最終消去參數(shù)k是解題的關(guān)鍵.
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時(shí),此方程至少有一個(gè)正整數(shù)解;當(dāng)a
 
時(shí),此方程有兩個(gè)正整數(shù)解;當(dāng)a
 
時(shí),此方程有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解.

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