Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)
【小題1】如圖1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，請(qǐng)?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)（除C,D以外）的勾股點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

（1）      【小題2】如圖2，矩形ABCD中，

AB＝12cm，BC＝4 cm，DM＝8 cm，AN＝5 cm．動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s) ，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．
①當(dāng)t＝4，求PH的長(zhǎng)．
②探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

【小題1】以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個(gè) ----------1分
【小題2】①當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn).如圖，

PH＝或PH＝2或PH＝3 ．每種情況各1分 --3分
②當(dāng)0≤ t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)．      -------------------------5分
（除①的情況，其余每種1分）
綜上所述，當(dāng)0≤ t＜4或t＝5或t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)．解析:
（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)就是A，B兩點(diǎn)在CD上的勾股點(diǎn)；
（2）①如圖，當(dāng)t=4時(shí)，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三種情況：
當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，根據(jù)已知條件可以證明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例即可求出PH；
當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，設(shè)PH=x，那么H''Q=4-x，根據(jù)勾股定理得到PM²+PH''²=QN²+H''Q²+MN²，而MN==5，依次即可求出PH''；
當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得到H'P²+PM²+QH'²+QN²=MN²，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．
②利用①的結(jié)果可以探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍．