Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，DE＝4 cm.動線段DE(端點D從點B開始)沿BC邊以1 cm/s的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止．過點E作EF∥AC交AB于點F(當點E與點C重合時，EF與CA重合)，連接DF，設(shè)運動的時間為t秒(t≥0)．

(1) 直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；

(2) 在這個運動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

(3) 設(shè)M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積．

Answer 1

解　(1) BE＝(t＋4) cm，EF＝(t＋4) cm.

(2)分三種情況討論：

① 當DF＝EF時，有∠EDF＝∠DEF＝∠B，

∴ 點B與點D重合，∴ t＝0. 

② 當DE＝EF時，∴4＝(t＋4)，

解得：t＝.

③當DE＝DF時，

有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，

∴△DEF∽△ABC.∴＝，

即＝，解得：t＝. 

綜上所述，當t＝0、或秒時，

△DEF為等腰三角形．

(3)設(shè)P是AC的中點，連接BP，∵EF∥AC，

∴△FBE∽△ABC.∴＝，

∴＝.

又∠BEN＝∠C，

∴△NBE∽△PBC，

∴∠NBE＝∠PBC.∴點N沿直線BP運動，MN也隨之平移．

如圖，設(shè)MN從ST位置運動到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形．

∵M、N分別是DF、EF的中點，

∴MN∥DE，且ST＝MN＝DE＝2.

分別過點T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L，延長ST交PL于點R，則四邊形TKLR是矩形，

當t＝0時，EF＝(0＋4)＝，

TK＝EF·sin∠DEF＝××＝；

當t＝12時，EF＝AC＝10，

PL＝AC·sin C＝×10×＝3.  

∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－＝.

∴S_▱PQST＝ST·PR＝2×＝.

∴整個運動過程中，MN所掃過的面積為 cm^2­­.