Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，DE＝4 cm.動線段DE(端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始)沿BC邊以1 cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動停止．過點(diǎn)E作EF∥AC交AB于點(diǎn)F(當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合)，連接DF，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒(t≥0)．

(1) 直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；

(2) 在這個(gè)運(yùn)動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

(3) 設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動過程中，MN所掃過的面積．

Answer 1

解　(1) BE＝(t＋4) cm，EF＝(t＋4) cm.

(2)分三種情況討論：

① 當(dāng)DF＝EF時(shí)，有∠EDF＝∠DEF＝∠B，

∴ 點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，∴ t＝0. 

② 當(dāng)DE＝EF時(shí)，∴4＝(t＋4)，

解得：t＝.

③當(dāng)DE＝DF時(shí)，

有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，

∴△DEF∽△ABC.∴＝，

即＝，解得：t＝. 

綜上所述，當(dāng)t＝0、或秒時(shí)，

△DEF為等腰三角形．

(3)設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，∵EF∥AC，

∴△FBE∽△ABC.∴＝，

∴＝.

又∠BEN＝∠C，

∴△NBE∽△PBC，

∴∠NBE＝∠PBC.∴點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動，MN也隨之平移．

如圖，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形．

∵M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，

∴MN∥DE，且ST＝MN＝DE＝2.

分別過點(diǎn)T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L，延長ST交PL于點(diǎn)R，則四邊形TKLR是矩形，

當(dāng)t＝0時(shí)，EF＝(0＋4)＝，

TK＝EF·sin∠DEF＝××＝；

當(dāng)t＝12時(shí)，EF＝AC＝10，

PL＝AC·sin C＝×10×＝3.  

∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－＝.

∴S_▱PQST＝ST·PR＝2×＝.

∴整個(gè)運(yùn)動過程中，MN所掃過的面積為 cm^2­­.