Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象交x軸于點A（x₀，0）和點B（2，0），與y軸的正半軸交于點C，其對稱軸是直線x=-1，tan∠BAC=2，點A關(guān)于y軸的對稱點為點D．
（1）確定A、C、D三點的坐標(biāo)；
（2）求過B、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）若過點（0，3）且平行于x軸的直線與（2）小題中所求拋物線交于M、N兩點，以MN為一邊，拋物線上任意一點P（x，y）為頂點作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關(guān)于P點縱坐標(biāo)y的函數(shù)解析式；
（4）當(dāng)＜x＜4時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請求出；若無，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A與點B關(guān)于直線x=-1對稱，點B的坐標(biāo)是（2，0）
∴點A的橫坐標(biāo)是=-1，x₀=-4，
故點A的坐標(biāo)是（-4，0）
∵tan∠BAC=2即=2，可得OC=8
∴C（0，8）
∵點A關(guān)于y軸的對稱點為D
∴點D的坐標(biāo)是（4，0）

（2）設(shè)過三點的拋物線解析式為y=a（x-2）（x+4）
代入點C（0，8），解得a=-1
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+8；

（3）∵拋物線y=-x²-2x+8與過點（0，3）平行于x軸的直線相交于M點和N點
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4
而拋物線的頂點為（3，-1）
當(dāng)y＞3時
S=4（y-3）=4y-12
當(dāng)-1≤y＜3時
S=4（3-y）=-4y+12

（4）以MN為一邊，P（x，y）為頂點，且當(dāng)＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離h最大
∴當(dāng)x=3，y=-1時，h=4
S=|MN|•h=4×4=16
∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16．
分析：（1）因為已知B點坐標(biāo)和對稱軸，所以可根據(jù)對稱軸公式求出A點坐標(biāo)；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出C點坐標(biāo)，根據(jù)x軸上的點關(guān)于y軸對稱的特點可求出D點坐標(biāo)．
（2）因為B、D兩點為拋物線與x軸的交點，所以可設(shè)出二次函數(shù)的交點式，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．
（3）根據(jù)過點（0，3）且平行于x軸的直線與（2）中的拋物線相交于M．N，可求出M、N的坐標(biāo)，及兩點之間的距離，再根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)求出P點縱坐標(biāo)y的取值范圍，根據(jù)其取值范圍即可求出S與y之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）因為MN之間的距離為定值，故只要在＜x＜4范圍內(nèi)|y|最大，則平行四邊形的面積最大．根據(jù)（3）中S與y之間的函數(shù)關(guān)系式即可求出S的最大值．
點評：此題比較復(fù)雜，閱讀量較大，把動點問題與二次函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，有一定的綜合性，但難度適中，是一道較好的題目．