Question

已知：正方形ABCD的邊長為1，射線AE與射線BC交于點(diǎn)E，射線AF與射線CD交于點(diǎn)F，∠EAF=45°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．
（2）設(shè)BE=x，DF=y，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動時(shí)（不包括點(diǎn)B、C），如圖1，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動時(shí)（不含端點(diǎn)B），點(diǎn)F在射線CD上運(yùn)動．試判斷以E為圓心以BE為半徑的⊙E和以F為圓心以FD為半徑的⊙F之間的位置關(guān)系．
（4）當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，設(shè)AE與CD交于點(diǎn)G，如圖2．問△EGF與△EFA能否相似？若能相似，求出BE的值；若不可能相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，易知點(diǎn)F′、B、E在一直線上．證得AF′E≌△AFE．從而得到EF=F′E=BE+DF；
（2）由（1）得 EF=x+y再根據(jù) CF=1-y，EC=1-x，得到（1-y）²+（1-x）²=（x+y）²．化簡即可得到y(tǒng)=（0＜x＜1）．
（3）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、C之間時(shí)，由（1）知 EF=BE+DF，故此時(shí)⊙E與⊙F外切；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，DF=0，⊙F不存在．當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，證得△AF′E≌△AFE．即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．從而得到此時(shí)⊙E與⊙F內(nèi)切．
（4）△EGF與△EFA能夠相似，只要當(dāng)∠EFG=∠EAF=45°即可．這時(shí)有 CF=CE．設(shè)BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．由 CE²+CF²=EF²，得（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²．
化簡可得 y=（x＞1）．又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化簡得x²-2x-1=0，解之即可求得BE的長．
解答：解：（1）猜想：EF=BE+DF．理由如下：
將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，易知點(diǎn)F′、B、E在一直線上．如圖1．
∵AF′=AF，
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF，
又 AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=F′E=BE+DF；

（2）由（1）得 EF=x+y
又 CF=1-y，EC=1-x，
∴（1-y）²+（1-x）²=（x+y）²．
化簡可得y=（0＜x＜1）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、C之間時(shí)，由（1）知   EF=BE+DF，故此時(shí)⊙E與⊙F外切；
②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，DF=0，⊙F不存在．
③當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，圖2．
有  AF′=AF，∠1=∠2，BF′=FD，
∴∠F′AF=90°．
∴∠F′AE=∠EAF=45°．
又 AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．
∴此時(shí)⊙E與⊙F內(nèi)切．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，⊙E與⊙F外切；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，⊙E與⊙F內(nèi)切；

（4）△EGF與△EFA能夠相似，只要當(dāng)∠EFG=∠EAF=45°即可．
這時(shí)有 CF=CE．…（1分）
設(shè)BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．
由 CE²+CF²=EF²，得（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²．
化簡可得  y=（x＞1）．
又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化簡得
x²-2x-1=0，解之得                  
x=1+或x=1-（不符題意，舍去）．
∴所求BE的長為1+．
點(diǎn)評：本題考查了相似形的綜合知識，此類題目往往是中考的壓軸題，難度較大．往往考查初中學(xué)段的綜合知識，有時(shí)候還會與函數(shù)知識相結(jié)合，無形中提高了難度．