Question

【題目】如圖，拋物線y=－++4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)______ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______ ；

(2)線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?

Answer 1

【答案】(1)、A（0,4） C（8,0）；(2)、（0，4）、、（8-2，）；(3)、S=16.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)x=0和y=0分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)、首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，CD的長(zhǎng)度和直線AC的解析式，然后分DE=DC，DE=EC和DC=EC三種情況分別求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)、首先設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后列出面積的函數(shù)關(guān)系式，然后進(jìn)行求解.

試題解析：(1)、A（0,4） C（8,0）

(2)、易得D（3，0），CD=5， 設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：

解得：； ∴y=-x+4；

①當(dāng)DE=DC時(shí)，

∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴（0，4）；

②過(guò)E點(diǎn)作EG⊥x軸于G點(diǎn)，

當(dāng)DE=EC時(shí)，由DG=，

把x=OD+DG=3+=代入到y(tǒng)=-x+4，求出y=

可得；

③當(dāng)DC=EC時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD， 則△CEG∽△CAO，

∴，又OA=4，OC=8，則AC=4，DC=EC=5， ∴EG=，CG=2，

∴（8-2，）；

綜上所述，符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè)：（0，4）、、（8-2，）

(3)、如圖，過(guò)P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC與點(diǎn)Q；

設(shè)P（m，-+m+4），則Q（m，-m+4）．

①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，

PQ=（-+m+4）-（-m+4）=-+2m，

S=+=×8×（-+2m）=-+16， ∴0＜S≤16；

②當(dāng)-2≤m＜0時(shí)，

PQ=（-m+4）-（-+m+4）=－2m，

S=-=×8×（－2m）=-16，

∴0＜S＜20；

∴當(dāng)0＜S＜16時(shí)，0＜m＜8中有m兩個(gè)值，-2＜m＜0中m有一個(gè)值，此時(shí)有三個(gè)；

當(dāng)16＜S＜20時(shí)，-2＜m＜0中m只有一個(gè)值；

當(dāng)S=16時(shí)，m=4或m=4-4這兩個(gè)． 故當(dāng)S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)